Геометрия Лобачевского и глобальные свойства динамических систем на ориентируемых поверхностях

В.З. Гринес

Согласно теореме униформизации, любая замкнутая ориентируемая поверхность с неположительной эйлеровой характеристикой реализуется как фактор-пространство универсальной накрывающей по дискретной группе движений, изоморфной фундаментальной группе поверхности. При этом в случае, когда поверхность есть двумерный тор, универсальная накрывающая реализуется как евклидова плоскость, снабженная метрикой нулевой кривизны, а когда поверхность отлична от тора, то универсальная накрывающая реализуется в виде плоскости Лобачевского, снабженной метрикой постоянной отрицательной кривизны. Оказалось, что для изучения глобальных свойств потоков на рассматриваемых поверхностях весьма полезна информация об асимптотическом поведении прообразов траекторий потоков на универсальном накрытии. Так, в 1935 году А. Вейль [1] в докладе «Семейства кривых на торе», прочитанном на I Международной топологической конференции в Москве, заметил, что число вращения Пуанкаре, введенное для каскадов на глобальной секущей потоков без состояния равновесий на торе, играющее ключевую роль для полной классификации таких потоков, может быть интерпретировано как тангенс угла наклона прямой, соответствующей асимптотическому направлению любой полутраектории накрывающего потока на универсальной накрывающей. В том же докладе [1] А. Вейль предложил сходным методом исследовать топологию потоков на ориентируемой двумерной поверхности с отрицательной эйлеровой характеристикой, все состояния равновесия которых имеют отрицательный индекс. Им была высказана гипотеза о том, что для полутраектории потока из этого класса, предельное множество которой не совпадает с состоянием равновесия, прообраз полутраектории на универсальной накрывающей, рассматриваемой как плоскость Лобачевского, стремится ровно к одной точке абсолюта плоскости Лобачевского.

Спустя 30 лет Д.В. Аносов вновь пробудил интерес к этой задаче, дока-зав гипотезу А. Вейля (в более общей ситуации), установив, что если на ориентируемой поверхности рода большего единицы задан поток, множество состояний равновесия которого стягиваемо на поверхности, то каждая полу-траектория накрывающего потока либо остается в компактной части накрывающего пространства, либо уходит на бесконечность, и тогда она имеет асимптотическое направление, т. е. стремится ровно к одной точке абсолюта плоскости Лобачевского [2].

Соединение такого подхода с теорией Пуанкаре–Бендиксона, развитой для ориентируемых двумерных многообразий в 40-е годы А.Г. Майером, явилось отправным пунктом для получения топологической классификации транзитивных потоков и минимальных множеств потоков на поверхностях с отрицательной эйлеровой характеристикой с помощью гомотопического класса вращения – топологического инварианта введенного С.Х. Арансоном и В.З. Гринесом в 1971 году. Ими была получена топологическая классификация таких потоков с помощью построения потоков, минимальные множества которых состоят из геодезических линий в метрике постоянной отрицательной кривизны [2–5, 8]. Заметим, что эти геодезические линии являются образами при естественной проекции геодезических плоскости Лобачевского, концевые точки которых на абсолюте берутся из некоторого всюду плотного множества нулевой меры и мощности континуума. Как следует из результатов В.З. Гринеса, Р.В. Плыкина, Н.Х. Калая, в этом множестве существует подмножество, являющееся множеством концевых точек геодезических, проекции которых порождают геодезические ламинации, топологически эквивалентные ламинациям, образуемым всеми гиперболическими аттракторами диффеоморфизмов поверхностей [6, 7]. Таким образом, абсолют плоскости Лобачевского несет информацию о всех важнейших глобальных свойствах динамических систем как с непрерывным, так и с дискретным временем, заданных на ориентируемых поверхностях отрицательной кривизны.

Литература

1. Weil A. Les families de courbes sur le tore // Матем. сб. 1936. Т.1(43). №5. С. 779 - 781.

2. Аносов Д.В. О бесконечных кривых на поверхности кренделя – Симпозиум по общей топологии. Тирасполь. 1965.

2. Арансон С.Х., Гринес В.3. О некоторых инвариантах динамических си-стем на двумерных многообразиях (необходимые и достаточные условия топологи-ческой эквивалентности транзитивных динамических систем) // Матем. сб. 1973. Т. 90(132).№3. С. 372 - 402.

3. Арансон С.Х., Гринес В.3. О топологической эквивалентности минимальных множеств динамических систем на двумерных многообразиях // УМН. 1973. Т. 28. Вып. 4(172). С.207 - 208.

4. Арансон С.X., Гринес В.3. О представлении минимальных множеств потоков на двумерных многообразиях геодезическими линиями // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1978. Т. 42. №1. С. 104 -129.

5. Арансон С.Х., Гринес В.З. Топологическая классификация потоков на замкнутых двумерных многообразиях // УМН. 1986. Т. 41. Вып. 1(247). С. 149 -169.

6. Арансон С.Х., Гринес В.З. Топологическая классификация каскадов на замкнутых двумерных многообразиях // УМН. 1990. Т. 45. Вып. 1(271). С. 3 - 32.

7. Grines V., Medvedev T., Pochinka O. Dynamical Systems on 2- and 3-Manifolds. – Springer, 2016.

8. Grines V.Z., Zhuzhoma E.V. Surface Laminations and Chaotic Dynamical Systems – Izhevsk: Institute of Computer Science, 2021.

Гринес Вячеслав Зигмундович

Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики в Нижнем Новгороде,

Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского